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📂 목차

• 명제 Statement
  • Simple Statement & Compound Statement
• Truth Table
• Logically Equivalent
• Conditional Truth Table
• Biconditional Truth Table
• Tautology
  • Implication
    • Theorem
  • Equivalence

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📚 본문

Statement

논리는 타당하지 않은 논증으로부터 타당한 논증을 구별하는 데 쓰이는 원리와 방법을 익히는 것이다. 논리를 논하기 위해서는 참, 거짓으로 구분 할 수 있는 문장인 Statement 부터 보아야 한다.

Simple Statement & Compound Statement

일반적으로 참, 거짓의 분기가 1회로 끝나는 문장을 Simple Statement 라고 하며, 단순 명제가 결합된 것을 Compound Statement 라고 한다.

단순 명제는 보통 영소문자로 두어 명제를 정의하고, 이 단순 명제들을 결합자를 통해 결합하면 영대문자로 나타내는 복합명제가 되는데 결합자는 다음과 같다:

Connectives

• $\lnot$ : not, 부정, 아니다의 의미
• $\land$: and, 그리고
• $\lor$: or, 또는
• $\rightarrow$: if…then, 이면, 라면
• $\leftrightarrow$: if…and only if…, 이면 그리고 그때에만

복합 명제에서 부분 부분의 명제들을 보통 Component 라고 부르며, 이러한 복합 명제에 대한 참, 거짓 여부를 판단하고 싶을 때 Truth Table(진리표)를 사용하면 쉽게 검토할 수 있다.

Truth Table

각각의 결합자들을 사용한 복합 명제에 대해 진리표를 그려보자.

$\lnot p$ | p | ¬p | |—|—-| | T | F | | F | T |

$p\land q$ | p | q | p ∧ q | |—|—|——–| | T | T | T | | T | F | F | | F | T | F | | F | F | F |

$p\lor q$ | p | q | p ∨ q | |—|—|——–| | T | T | T | | T | F | T | | F | T | T | | F | F | F |

여기서 각각의 가능한 경우, 성분들의 가능한 참, 거짓의 조합을 Logical Possibilities(논리적 가능성) 라고 하며, and, or 에 대한 논리적 가능성은 4가지, not 에 대한 논리적 가능성은 2가지 이다.

Logically Equivalent

단순 명제 p, q 이거나 합성명제인 P, Q에 대한 모든 논리적 가능성의 경우 진리값이 같으면 P, Q는 Logically Equivalent(논리적 동치) 또는 그냥 동치라고 한다. $P\equiv Q$ 로 나타내게 된다.

예를 들어 다음 복합 명제끼리 equivalent 임을 볼 수 있다.

\[p\lor q \equiv \lnot(\lnot p\land \lnot q)\]

진리표를 그려보면 각각의 logical possibilities 에 대해 모든 결과 값이 동일함을 볼 수 있다.

Conditional Truth Table

‘이면’ 을 나타내는 $\rightarrow$ 기호는 Conditional(조건부) 기호라고 부르며, $p\rightarrow q$ 의 진리표는 다음과 같다.

p	q	¬q	p ∧ ¬q	p → q := ¬(p ∧ ¬q)
T	T	F	F	T
T	F	T	T	F
F	T	F	F	T
F	F	T	F	T

여기서 p 이면 q 이다. 라는 것은 전자의 명제가 참일 경우에만 따지는데, p가 거짓인 경우에는 그런 경우를 관심으로 두지 않기 때문에 논하는 것은 무의미하다. 따라서 생각조차 하지 않는데, 이를테면 다음과 같은 명제이다:

저 사람이 태양이면 나는 바람이다.

사람이 태양일리 없으므로 이런 명제는 생각조차하지 않는다. 하지만 이 두 논리적 가능성은 결과적으로 참이라고 둔다(정의다).

Biconditional Truth Table

쌍화살표 라고 보통 많이 보았을텐데, Biconditional(쌍조건부)라고 읽고, 기호로 $p\leftrightarrow q$ 로 쓸 수 있다. $(p \rightarrow q) \land (p \leftarrow q)$ 와도 같다. 진리표는:

p	q	p → q	p ← q	p ↔ q
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Tautology

모든 논리적 가능성에 대해 참인 것을 Tautology(항진)이라고 한다.

다음은 다 항진일 것이다.

• $p \lor ~p$
• $p \leftrightarrow p$

항진은 기호로 보통 소문자 t로 둔다.

Implication

$P \rightarrow Q$ 가 t일 때, $P \implies Q$ 라고 하고, P 는 Q를 함의한다. 라고 읽는다. 여기서 화살표 기호의 결합력이 or, and 의 결합력보다 더 느슨하므로 보통 $p \rightarrow (p\lor q)$ 을 $p \rightarrow p\lor q$ 로 쓴다. 또한 $\lnot$ 은 $\lor, \land$ 보다 쎄다.

결합력 순위 $\lnot > \land, \lor > \rightarrow, \leftarrow, \leftrightarrow$
위와 같이 진리표를 그려나가야 한다.

어쨋든 함의가 나왔다는 것은 그 복합 명제가 무조건 항진임을 뜻한다.

Theorem

• Law of Addition(Add.): $p \implies p \lor q$
• Laws of Simplification(Simp.): $p\land q \implies p$, $p\land q \implies q$
• Disjunctive Syllogism(D.S.): $(p\lor q) \land \lnot p \implies q$

Equivalence

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✒️ 용어

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